李善蘭自幼酷愛(ài)數(shù)學(xué)。9歲時(shí)，他發(fā)現(xiàn)父親的書(shū)架上有一本中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著——《九章算術(shù)》，感到十分新奇有趣，從此就迷上了數(shù)學(xué)。14歲時(shí)他又靠自學(xué)讀懂了徐光啟與利瑪竇合譯的古希臘數(shù)學(xué)名著歐幾里得《幾何原本》前六卷。李善蘭發(fā)現(xiàn)歐氏幾何嚴(yán)密的邏輯體系，清晰的數(shù)學(xué)推理，與偏重實(shí)用解法和計(jì)算技巧的中國(guó)古代傳統(tǒng)數(shù)學(xué)思路有很大的不同，他在學(xué)習(xí)《九章算術(shù)》的基礎(chǔ)上，吸取了《幾何原本》的新思想，結(jié)合兩種文明的長(zhǎng)處和特點(diǎn)，這使他的數(shù)學(xué)水平有了很大的提高。

幾年后李善蘭到省府杭州參加鄉(xiāng)試，由于他酷愛(ài)數(shù)學(xué)，“故于算學(xué)用心極深”而對(duì)八股文章下工夫不夠，做得不好，所以未考中落榜。但他卻毫不介意，而是利用在杭州的機(jī)會(huì)，留意搜尋各種數(shù)學(xué)書(shū)籍，買(mǎi)回了李冶的《測(cè)圓海鏡》和戴震的《勾股割圓記》，仔細(xì)研讀。同時(shí)還在嘉興等地與數(shù)學(xué)家顧觀(guān)光、張文虎、汪曰楨以及戴煦、羅士琳、徐有壬等人相識(shí)，經(jīng)常在學(xué)術(shù)上相互切磋。自此數(shù)學(xué)造詣日臻精深，時(shí)有心得，輒復(fù)著書(shū)，1845年前后發(fā)表了具有解析幾何思想和微積分方法的數(shù)學(xué)研究成果──“尖錐術(shù)”。 　

李善蘭與英國(guó)傳教士偉烈亞力等人合作翻譯《幾何原本》后九卷

 從1852年到1859年期間，李善蘭在上海墨海書(shū)館與英國(guó)傳教士、漢學(xué)家偉烈亞力等人合作翻譯出版了《幾何原本》后九卷。除此之外，李善蘭還翻譯《代數(shù)學(xué)》13卷、《代微積拾級(jí)》18卷、《談天》18卷、并與人合作翻譯《重學(xué)》20卷和《圓錐曲線(xiàn)說(shuō)》3卷等大量的數(shù)學(xué)論著，《植物學(xué)》等西方近代科學(xué)著作，還翻印了《奈端數(shù)理》（即牛頓《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》）四冊(cè)（未刊），這是解析幾何、微積分、哥白尼日心說(shuō)、牛頓力學(xué)、近代植物學(xué)傳入中國(guó)的開(kāi)端。

李善蘭的翻譯工作是很有獨(dú)創(chuàng)性的，許多重要的中文數(shù)學(xué)名詞術(shù)語(yǔ)，“代數(shù)”、“函數(shù)”、“方程式”、“微分”、“積分”、“級(jí)數(shù)”、“植物”、“細(xì)胞”等都是他創(chuàng)造的。他匠心獨(dú)具地選用的這些中文的科學(xué)名詞，不僅意思貼切，很容易理解，而且又是雅而不俗。這些名詞不僅在中國(guó)流傳，而且東渡日本，沿用至今。李善蘭為近代科學(xué)在中國(guó)的傳播和發(fā)展作出了開(kāi)創(chuàng)性的貢獻(xiàn)。

1860年起他先后在徐有壬、曾國(guó)藩軍中作幕僚，與化學(xué)家徐壽、數(shù)學(xué)家華蘅芳等人一起積極參與洋務(wù)運(yùn)動(dòng)中的科技學(xué)術(shù)活動(dòng)。1867年他出版了《則古昔齋算學(xué)》，匯集了二十多年來(lái)在數(shù)學(xué)、天文學(xué)和彈道學(xué)等方面的著作，計(jì)有《方圓闡幽》、《弧矢啟秘》、《對(duì)數(shù)探源》、《垛積比類(lèi)》、《四元解》、《麟德術(shù)解》、《橢圓正術(shù)解》、《橢圓新術(shù)》、《橢圓拾遺》、《火器真訣》、《對(duì)數(shù)尖錐變法釋》、《級(jí)數(shù)回求》和《天算或問(wèn)》等13種24卷，共約15萬(wàn)字。

1868年，李善蘭被薦任北京同文館天文算學(xué)總教習(xí)，直至1882年他逝世為止，從事數(shù)學(xué)教育十余年，其間審定了《同文館算學(xué)課藝》、《同文館珠算金□》等數(shù)學(xué)教材，培養(yǎng)了一大批數(shù)學(xué)人才，是中國(guó)近代數(shù)學(xué)教育的鼻祖。

李善蘭潛心科學(xué)，淡于利祿。晚年官至三品，授戶(hù)部正郎、廣東司行走、總理各國(guó)事務(wù)衙門(mén)章京等職，但他從來(lái)沒(méi)有離開(kāi)過(guò)同文館教學(xué)崗位，也沒(méi)有中斷過(guò)科學(xué)研究特別是數(shù)學(xué)研究工作。他的數(shù)學(xué)著作，除《則古昔齋算學(xué)》外,尚有《考數(shù)根法》、《粟布演草》、《測(cè)圓海鏡解》、《九容圖表》，而未刊行者，有《造整數(shù)勾股級(jí)數(shù)法》、《開(kāi)方古義》、《群經(jīng)算學(xué)考》、《代數(shù)難題解》等。

李善蘭創(chuàng)立的“尖錐”概念，是一種處理代數(shù)問(wèn)題的幾何模型，他對(duì)“尖錐曲線(xiàn)”的描述實(shí)質(zhì)上相當(dāng)于給出了直線(xiàn)、拋物線(xiàn)、立方拋物線(xiàn)等方程。他創(chuàng)造的“尖錐求積術(shù)”，相當(dāng)于冪函數(shù)的定積分公式和逐項(xiàng)積分法則。還在各種三角函數(shù)和反三角函數(shù)的展開(kāi)式，以及對(duì)數(shù)函數(shù)的展開(kāi)式，在使用微積分方法處理數(shù)學(xué)問(wèn)題方面取得了創(chuàng)造性的成就。 尖錐術(shù)理論主要見(jiàn)于《方圓闡幽》、《弧矢啟秘》、《對(duì)數(shù)探源》三種著作，成書(shū)年代約為1845年，當(dāng)時(shí)解析幾何與微積分學(xué)尚未傳入中國(guó)。

1859～1867李善蘭從研究中國(guó)傳統(tǒng)的垛積問(wèn)題入手，寫(xiě)了一本有關(guān)高階等差級(jí)數(shù)的著作《垛積比類(lèi)》，獲得了一些相當(dāng)于現(xiàn)代組合數(shù)學(xué)中的成果。例如，“三角垛有積求高開(kāi)方廉隅表”和“乘方垛各廉表”實(shí)質(zhì)上就是組合數(shù)學(xué)中著名的第一種斯特林?jǐn)?shù)和歐拉數(shù)。可以認(rèn)為，《垛積比類(lèi)》是早期組合論的杰作。