1.指標定理簡介

這里所謂的指標定理，是指由阿蒂亞、辛格(Singer)于1963年證明的，以他們的名字命名的定理。它被公認為是二十世紀最重要的數學成就之一。有不少人認為如果在二十世紀中挑選出兩個最偉大的數學定理，那么其中之一就應該是阿蒂亞-辛格的指標定理(另一個是外爾斯(Wiles )證明的費馬(Fermat)大定理)。它的大意是說：對一個封閉的彎曲空間上的一類微分算子(稱為線性橢圓微分算子)，可以定義兩個整數：一個是用分析辦法定義的，稱為分析指標；另一個是用拓撲辦法定義的，稱為拓撲指標。在這個情形下，阿蒂亞-辛格指標定理可以敘述為："對任何一個線性橢圓微分算子D ，下面的公式成立：D的分析 指標= D的拓撲指標。"從這個定理的字面上就可以大致了解，本質上它在數學的兩大領域-分析與拓撲-之間建立起了一座內在的橋梁。像這樣的將兩個看似無關的領域緊密結合起來的結果，其重要性及應用的廣泛性是顯而易見的。從另外一個角度講，"D的分析指標"是通過分析的方法決定的一個"整體"的不變量，而"D的拓撲指標"經由所謂的陳省身-魏依(Chern-Weil)理論可以有一個"局部"的表達式。這樣上述的公式就可以有另外一種更抽象同時也更具哲學意味的形式："整體=局部的疊加".這里盡管"局部"的量可以任意的變化，但是通過"疊加" (積分)后得到的整體量卻是固定不變的！這種"萬變不離其宗"的要旨體現出驚人的美感，給人
以強烈的震撼。

如此優(yōu)美并顯然有重要意義的定理在數學中的地位自然舉足輕重。例如它就包含了當時微分幾何學、拓撲學以及代數幾何學中的諸多大定理如高斯-博內特-陳省身(Gauss-Bonnet-Chern)定理、希策布魯赫(Hirzebruch)符號差定理、希策布魯赫-黎曼-洛赫(Hirzebruch-Riemann-Roch )定理等等為其特例。無怪乎我國指標定理專家虞言林教授感嘆：指標定理像個大太陽，許多大定理都圍繞著它轉。而著名數學家哈爾莫斯(Halmos)在其綜述報告《數學的進展慢下來了嗎？》中的評論或許更能說明問題："這項工作的成果是最深刻和最廣泛的。對作為報告人的我來說，它是這份報告中最鐵的部分。它們不僅是一個定理，而且是一種理論、 一個領域、一種觀點，這種觀點進入數學的許多部分，同時也受它們的影響。在寫到過去50年來微分幾何的驚人成就時，奧瑟曼(Osserman)稱阿蒂亞-辛格指標定理為'分析、拓撲與幾何的美妙綜合，特別導致對高斯-博內特定理的新看法：不是作為孤立的結論，而是一大群事物中的一個'."指標理論的創(chuàng)始人阿蒂亞、辛格理所當然地獲得了國際數學界的褒獎：阿蒂亞獲得了1966年的菲爾茲獎；阿蒂亞和辛格共同獲得了2004年的阿貝爾獎。

　　2.中國數學家的先驅性貢獻

高斯-博內特-陳省身公式及其發(fā)展中國數學家對阿蒂亞-辛格指標定理的形成做出了先驅性的貢獻。其中最突出的就是陳省身先生于上世紀四十年代中期的一系列開創(chuàng)性工作，特別是上面已經提到的高斯-博內特-陳省身定理，還有就是陳省身示性類的提出和研究。陳先生自己說過，他一生最好的工作就是高維高斯-博內特公式的內蘊證明。有鑒于此，更由于高斯-博內特-陳省身定理的突出的歷史地位，我們先對這個定理的來龍去脈作一個簡略的回顧。

　　事實上，陳省身先生的工作可以追朔到著名的古希臘歐幾里得(Euclid)的《幾何原本》中的一個基本定理："平面上任何一個三角形的內角之和等于180度".這個定理到19世紀中葉被德國數學大師高斯推廣到球面上彎曲三角形的情形，而高斯的定理又被法國數學家博內特推廣到多邊形的情形。高斯和博內特的定理后來在理論和實際中都有很大的發(fā)展和應用，成為二維微分幾何中最重要的定理之一。

　　到了19世紀下半葉，由于研究物理學特別是電磁學的需要，同時也由于數學內部發(fā)展的驅動，高斯的學生，大數學家黎曼提出并研究了高維微分幾何(例如我們所處的空間是三維的)，后來成為愛因斯坦(Einstein)發(fā)展廣義相對論的重要工具。由于高斯-博內特公式在二維微分幾何中的重要性，一個自然而然的問題就是能不能把它推廣到高維微分幾何中去。二十世紀著名的幾何和拓撲學家霍普夫(Hopf)就在上世紀20年代撰文認為這個問題是當時微分幾何中最重要的未解決問題。而陳省身先生順應歷史潮流，于上世紀40年代徹底解決了這個問題。現在文獻中都把這個高維情形下的定理稱為高斯-博內特-陳省身公式，充分肯定了陳先
生的貢獻。然而，陳先生的偉大貢獻不僅僅限于此。它還反映在以下幾個方面：其一，他利用了從他的老師，法國大幾何學家嘉當(E. Cartan )那里學到的獨特技術，采用了完全創(chuàng)新的方法，給出了此問題的一個出人意料的處理，對后來發(fā)展產生了深遠的影響；其二，由他的方法出發(fā)，陳先生意識到"用微分形式來表示拓撲不變量"應該在微分幾何中起非常重要的作用。正是由這個原理出發(fā)考察當時已經知道的不變量，并且推陳出新，陳先生定義了現在以他的名字命名的示性類(現通稱陳示性類，Chern class )。

　　陳示性類的提出和發(fā)展，掀開了微分幾何的新篇章。上面提到過的大數學家霍普夫評論到："微分幾何由此進入了一個新的時代".而多年后，年輕一輩的微分幾何代表人物辛格(即阿蒂亞-辛格指標定理的作者之一)寫到："對我們來說，陳就是現代微分幾何".具體到阿蒂亞-辛格指標定理這個偉大的成就，從以下的兩個方面可以看出正是陳先生的工作奠定了它的基礎：(i ) 高斯-博內特-陳省身公式可以看成是第一個在任意維數都成立的指標定理的一個特例，是指標定理的先驅；(ii) 指標定理中的拓撲指標本身就是用陳示性類來定義的，這反映了陳示性類的不可或缺的基本重要性！

　　由上面簡短的歷史概述也可以體會，楊振寧先生膾炙人口的詩句"千古寸心事，歐高黎嘉陳" ，贊頌陳先生在幾何學中的歷史地位直追歐幾里德、高斯、黎曼和嘉當，是十分到位的。

　　對指標定理的形成做出先驅性貢獻的另一位中國數學家是吳文俊先生。希策布魯赫在其1956年的名著《代數幾何中的拓撲方法》的導言中指出，是吳文俊最早猜出了4維流形的符號差公式的形式，后來由托姆(Thom)予以證明的(蘇聯數學家洛赫林(Rokhlin )也獨立地證明了這個公式)。而希策布魯赫這本名著的主要定理之一就是把吳文俊猜到的公式推廣到任意維數的情形。

　　后來的發(fā)展證明，希策布魯赫在這本書中證明的定理以及使用的方法(即由托姆發(fā)展起來的配邊理論)對阿蒂亞-辛格指標定理的最終提出和證明有本質性的啟示。
　　托姆于1958年獲得了菲爾茲獎，希策布魯赫后來獲得了沃爾夫獎。陳先生獲得了沃爾夫獎和2004年頒發(fā)的首屆邵逸夫數學獎，吳文俊先生獲得了2001年首屆國家最高科學技術獎和2006年的邵逸夫數學獎，這些都反映了數學界對上述工作的高度贊揚。

　　3.指標定理研究在中國的萌芽

盡管指標定理從一開始就被公認為數學中的偉大成就，但由于其牽涉面廣，用到的知識多而且深刻，所以要完全弄懂它并不是一件容易的事情。因此雖然國內在60年代就影印出版了帕萊斯(Palais)編著的《阿蒂亞-辛格指標定理討論班》(這本書是國際上第一次包含指標定理完整證明的正式出版物)，但真正理解指標定理的人幾乎沒有。而作為國際微分幾何領袖的陳省身先生，自然知道它的分量。因此，1972年中美關系解凍后他第一次回國就在中國科學院數學研究所以《纖維空間與示性類》為題做學術報告，"描繪了阿蒂亞-辛格指標定理的全貌".陳先生的報告顯然在數學所的青年數學家中間產生了影響。例如當時才三十出頭的虞言林就投入到高斯-博內特-陳省身公式的研究，寫出了好幾篇頗具匠心的論文。他1983年發(fā)表在《拓撲學(Topology)》雜志上的論文成功地將高斯-博內特-陳省身公式推廣到組合流形的情形，是我國大陸數學家第一次在這份著名的雜志上發(fā)表論文。

另一方面，陳先生利用他與阿蒂亞的友誼，積極推動在大陸刊印《阿蒂亞論文全集》，并親自撰寫前言，希望此全集"不要成為書架上的擺設" (此前言的譯文見附錄)。

后來，陳先生接受吳大任和胡國定兩位先生的邀請，回母校南開大學創(chuàng)立南開數學研究所。在籌備1986-1987學年南開數學所的幾何與拓撲學術年活動時，陳先生再次強調要學習和研究指標定理，并語重心長地指出"即使出不了文章，也要搞阿蒂亞-辛格指標定理".這深深鼓舞了同是籌備委員會成員的虞言林。虞言林后來回憶，陳先生的上述講話"體現了一種期待、一份'偏袒' 、一項號召。這句話對我的文章的完成起了決定性的影響".這里所謂"我的文章"就是指虞言林關于狄拉克(Dirac )算子的局部指標定理的工作。在這個工作中，虞言林將印度天才數學家帕托笛(Patodi)的方法推廣到旋量叢情形，給出了關于狄拉克算子的阿蒂亞-辛格指標定理的直接的熱方程證明。這是我國大陸數學家在改革開放后對指標定理所做的第一項堅實的工作，它獨立于西方同期的工作，可以被認為是文化大革命以后中國指標定理研究的奠基石。

　　到了1986年南開數學所的幾何與拓撲學術年正式開始時，虞言林以他的上述工作為基礎，開設了阿蒂亞-辛格指標定理的課程。這對指標定理在國內的普及和發(fā)展起了非常巨大的作用。很多年輕的參加者都是第一次接觸到纖維叢、示性類、狄拉克算子、熱核等概念，他們正是通過虞老師的課程，還有其他的類似課程，邁入了現代數學的殿堂。筆者自己有幸在那個時候成為虞老師的碩士研究生，跟隨虞老師學習指標定理，并在虞老師的指導和直接參與下，同當時正在南開數學所做博士后的拉法堤(Lafferty)一起，將虞老師的工作推廣到帶群作用的情形。我們三人合作的論文后來發(fā)表在《美國數學會會刊(Transactions of AMS )》上。

南開新聞網 　 2006-10-28