這種縮小包圍圈的辦法很管用，于是從（9十9）開(kāi)始，全世界的數(shù)學(xué)家集中力量“縮小包圍圈”，逐步減少每個(gè)數(shù)里所含質(zhì)數(shù)因子的個(gè)數(shù)，直到最后（1+1）為止。用這樣方法來(lái)證明“哥德巴赫猜想”確實(shí)取得了一系列重要的進(jìn)展：

1920年，挪威數(shù)學(xué)家布朗（Brun）用古老的篩選法證明了（9＋9）；

1924年德國(guó)數(shù)學(xué)家拉德馬赫（Rademacher）證明了（7+7）；

1932年英國(guó)數(shù)學(xué)家埃斯特曼（Estermann）證明了（6＋6）；

1932年，意大利的蕾西（Ricei）先后證明了（5+7）, （4+9）, （3+15）和（2+366）； 

1938年，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家維諾格拉朵夫證明了充分大的奇數(shù)可以表示為3個(gè)奇質(zhì)數(shù)之和，這使歐拉設(shè)想中的奇數(shù)部分有了結(jié)論，剩下的只有偶數(shù)部分的命題了。 

1938年，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家布赫斯塔勃證明了（５＋５），２年后又證明了（４＋４）。

       1938年，我國(guó)數(shù)學(xué)家華羅庚證明了所有偶數(shù)都可以表示為一個(gè)質(zhì)數(shù)和另一個(gè)質(zhì)數(shù)的方冪之和；

1940年他又證明了（4＋4）；

1956年，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家維諾格拉朵夫證明了（5+5），（4+4），（3+3）；

1956年，我國(guó)數(shù)學(xué)家王元證明了“3+4”；

1957年，我國(guó)數(shù)學(xué)家王元證明了“3+3”和“2+3”； 

而在1948年，匈牙利數(shù)學(xué)家蘭恩易(Renyi)另外設(shè)置了一個(gè)包圍圈。他開(kāi)辟了另一條途徑。他想要證明：每個(gè)大偶數(shù)都是一個(gè)素?cái)?shù)和一個(gè)“素因子都不超過(guò)六個(gè)的”數(shù)之和。他果然證明了（1＋6）。

但是，以后又是十年沒(méi)有進(jìn)展。

1962年，我國(guó)數(shù)學(xué)家潘承洞與蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家巴爾巴恩(BapoaH)各自獨(dú)立證明了（1＋5）；

1963年，又前進(jìn)了一步，潘承洞與王元合作證明，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家巴爾巴恩獨(dú)立證明了（1＋4）。

1965年，布赫斯塔勃、維諾格拉多夫和數(shù)學(xué)家龐皮艾黎邦別里等三人差不多同時(shí)都證明了（1＋3）。

“包圍圈”越來(lái)越小，越來(lái)越接近終極目標(biāo)（１＋１）。

維諾格拉多夫(1937年)，無(wú)條件地證明了奇數(shù)哥德巴赫猜想，即每個(gè)充分大的奇數(shù)都是三個(gè)奇素?cái)?shù)之和。

　　布朗(挪威1919年)證明了:每個(gè)大偶數(shù)都是兩個(gè)素因子個(gè)數(shù)均不超過(guò)9的整數(shù)之和(記為9 + 9，記號(hào)k + l表示大偶數(shù)分解為不超過(guò)k個(gè)奇素?cái)?shù)的積與不超過(guò)l個(gè)奇素?cái)?shù)的積之和 ，下同)

布赫夕塔布的4 + 4(1940)，瑞尼的l+c (c為一不確定大數(shù))(1948)和庫(kù)恩的a+b (a+b≤6)(1954);　　

1966年我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在對(duì)篩選法進(jìn)行了重要改進(jìn)之后，終于證明了（1+2）。也就是：“任何一個(gè)充分大的偶數(shù)，都可以表示成兩個(gè)數(shù)之和，而這兩個(gè)數(shù)中的一個(gè)就是奇質(zhì)數(shù)，另一個(gè)則是兩個(gè)奇質(zhì)數(shù)的乘積�！�

1966年5月陳景潤(rùn)在中國(guó)科學(xué)院的刊物《科學(xué)通報(bào)》第十七期上他對(duì)外正式宣布已經(jīng)證明了（1＋2）。他的證明震驚中外，被譽(yù)為“推動(dòng)了群山，”并被這個(gè)定理被世界數(shù)學(xué)界稱為“陳氏定理”。 (1973年發(fā)表詳細(xì)證明)

20世紀(jì)的數(shù)學(xué)家們研究哥德巴赫猜想所采用的主要方法，是圓法、篩法、密率法和指數(shù)和三角和法等高深的數(shù)學(xué)方法。

許多數(shù)學(xué)家，包括曾經(jīng)做出過(guò)重要貢獻(xiàn)的數(shù)學(xué)家認(rèn)為，要想證明（1＋1），必須通過(guò)創(chuàng)造新的數(shù)學(xué)方法，以往的路都是走不通的。

由于陳景潤(rùn)的貢獻(xiàn)，人類距離哥德巴赫猜想的最后結(jié)果（1＋1）僅有一步之遙了。而這一步卻無(wú)比艱難。30多年過(guò)去了，哥德巴赫猜想的 證明仍未有重要的突破。

目前利用計(jì)算機(jī)能證明到10的14次方為止哥德巴赫猜想是成立的，而嚴(yán)格的數(shù)學(xué)論證則要求其對(duì)所有的數(shù)都有效。