六十年代，他從事哥德巴赫猜想的研究，首先確定出命題（1+C）中常數(shù)C的具體數(shù)值，證明了命題（1+5）和（1+4），兩次在這一著名世界難題研究中居于國(guó)際領(lǐng)先地位，也是作為中國(guó)沖擊哥德巴赫猜想接力賽的第三棒。

七十年代，他在簡(jiǎn)化陳氏定理（1+2）時(shí)提出并證明了一條新的均值定理，該定理成為“篩法”應(yīng)用中的一個(gè)重要工具，為國(guó)內(nèi)外同行廣泛引用。由于以上工作，他與陳景潤(rùn)、王元一起共同獲得了國(guó)家自然科學(xué)一等獎(jiǎng)。

八十年代以后他致力于哥德巴赫猜想的最終解決，他所提出的研究"猜想"的新途徑，完全不同于經(jīng)典的"圓法"，其嶄新的學(xué)術(shù)思想為國(guó)際數(shù)論界所關(guān)注。

20世紀(jì)50年代前后是近代解析數(shù)論的一個(gè)重要發(fā)展時(shí)期，為了研究數(shù)論中的著名猜想，一些重要的新的解析方法，如大篩法、黎曼函數(shù)與狄利克雷L函數(shù)的零點(diǎn)分布、塞爾伯格篩法等，相繼提出，成為當(dāng)時(shí)解析數(shù)論界研究的中心。閔嗣鶴教授極有遠(yuǎn)見(jiàn)地為潘承洞確定了研究方向：狄利克雷L函數(shù)的零點(diǎn)分布，及其在著名數(shù)論問(wèn)題中的應(yīng)用。

在學(xué)習(xí)期間，他還有幸參加了華羅庚教授在中國(guó)科學(xué)院數(shù)學(xué)研究所主持的哥德巴赫猜想討論班，并與陳景潤(rùn)、王元等一起討論，互相學(xué)習(xí)和啟發(fā)。在閔嗣鶴教授的指導(dǎo)下，潘承洞在解析數(shù)論的基礎(chǔ)理論和研究方法上打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。1961年3月研究生畢業(yè)后，他被分配到山東大學(xué)數(shù)學(xué)系任助教。剛到山東大學(xué)的最初幾年里，潘承洞對(duì)于解析數(shù)論研究的執(zhí)著就得到了淋漓盡致的表現(xiàn)，在不到一年的時(shí)間里，他就自己的研究心得與中國(guó)科學(xué)院數(shù)學(xué)研究所的王元竟通信六十多次！而同一時(shí)期他與未婚妻李淑英僅通了兩封信。往往因?yàn)橐粋�(gè)問(wèn)題，雙方在信上你來(lái)我往幾個(gè)回合。在學(xué)術(shù)上的爭(zhēng)論更加深了他們之間的友誼，這種真摯的友誼一直延續(xù)下來(lái)，成為數(shù)論界的一段佳話。

在北京大學(xué)就讀研究生期間，潘承洞完成的主要論文有“論算術(shù)級(jí)數(shù)中的最小素?cái)?shù)”和“堆壘素?cái)?shù)論中的一些新結(jié)果”。其中前一篇將算術(shù)級(jí)數(shù)中最小素?cái)?shù)問(wèn)題的研究歸結(jié)為與狄利克雷L-函數(shù)有關(guān)的三個(gè)常數(shù)的估計(jì)，為這一問(wèn)題的研究建立了基本的框架。 

到山東大學(xué)后的幾年中，他著重研究了位列解析數(shù)論中最著名難題之一的哥德巴赫問(wèn)題，證明了命題{1，5}，即每一個(gè)充分大的偶數(shù)都可以表成一個(gè)素?cái)?shù)與一個(gè)素因子個(gè)數(shù)不超過(guò)5的奇數(shù)之和。這是對(duì)當(dāng)時(shí)哥德巴赫猜想研究所進(jìn)的一大步，是一個(gè)出人意料的重大進(jìn)展。因?yàn)樵谶@之前的最好結(jié)果是蘭恩易（Rényi）所證明的命題{1，η}，其中η是由蘭恩易方法只能證明其存在性，但不能確定具體數(shù)值的常數(shù)。如果按照蘭恩易的方法來(lái)計(jì)算η的數(shù)值，只能得到一個(gè)天文數(shù)字。

潘承洞的工作是建立在他本人對(duì)算術(shù)級(jí)數(shù)中素?cái)?shù)分布均值定理的改進(jìn)上，后來(lái)邦別里（E. Bombieri）由于對(duì)這一定理的進(jìn)一步改進(jìn)（即邦別里-維諾格拉多夫定理）獲得菲爾茲獎(jiǎng)。對(duì)此，后來(lái)的數(shù)論學(xué)家福利（E. Fouvry）和伊萬(wàn)尼斯（H. Iwaniec）曾評(píng)論道：“邦別里-維諾格拉多夫定理是在林尼克（Linnik）、蘭恩易、潘承洞、巴邦（Barban）等人開(kāi)創(chuàng)性工作的基礎(chǔ)上得到的。”這一時(shí)期他還在廣義解析函數(shù)論及其在薄殼上的應(yīng)用、數(shù)論在近似分析中的應(yīng)用等方面做了許多有價(jià)值的工作。

1966年開(kāi)始的“文化大革命”，嚴(yán)重地?cái)噥y了科學(xué)研究，尤其是基礎(chǔ)理論研究的正常秩序。這使得潘承洞無(wú)法再正常進(jìn)行他的解析數(shù)論研究工作。出于當(dāng)時(shí)的形勢(shì)要求，潘承洞從純理論的研究轉(zhuǎn)向數(shù)學(xué)一些應(yīng)用領(lǐng)域的研究，例如樣條函數(shù)理論、濾波分析等。他在樣條函數(shù)上的工作至今仍經(jīng)常被這一領(lǐng)域的研究者所引用。

1973年陳景潤(rùn)關(guān)于哥德巴赫猜想的著名論文發(fā)表后，潘承洞又開(kāi)始了解析數(shù)論研究。他提出并證明了一類新的有關(guān)算術(shù)級(jí)數(shù)素?cái)?shù)分布均值定理，它是邦別里-維諾格拉多夫定理的重要推廣與發(fā)展，能容易的解決后者所不能直接克服的困難。利用這一新的均值定理不僅給出了陳景潤(rùn)定理-命題{1，2}的最簡(jiǎn)單證明，成為以后研究哥德巴赫猜想型問(wèn)題的基礎(chǔ)，而且在不少著名解析數(shù)論問(wèn)題中有重要應(yīng)用，特別是1983年黑斯-布朗在關(guān)于原根的阿廷（Artin）猜想的論文中應(yīng)用它，得到了重要結(jié)果。根據(jù)這一均值定理，潘承洞給出了陳景潤(rùn)定理的一個(gè)簡(jiǎn)化證明，此證明被公認(rèn)為全世界五個(gè)陳氏定理簡(jiǎn)化證明中最好的一個(gè)。

1979年7月，在英國(guó)Durham舉行的國(guó)際解析數(shù)論會(huì)議上，潘承洞應(yīng)邀以此為題作了一小時(shí)的報(bào)告，受到與會(huì)者的高度評(píng)價(jià)。

1982年 ，潘承洞發(fā)表了論文“研究哥德巴赫猜想的一個(gè)新嘗試”，提出了與已有研究截然不同的方法，對(duì)哥德巴赫猜想作了有益的探索。他還與陳景潤(rùn)合作，得到了哥德巴赫數(shù)例外集合估計(jì)的一個(gè)重要結(jié)果。

1988年，理歇特（H.E.Richert）在紀(jì)念華羅庚國(guó)際數(shù)論與分析會(huì)議上發(fā)表的綜述性論文中，把邦別里-維諾格拉多夫定理，陳景潤(rùn)定理，以及潘承洞的新均值定理稱為這一領(lǐng)域的三項(xiàng)最重要的結(jié)果。 

在三十多年的研究歷程中，潘承洞在國(guó)內(nèi)外重要學(xué)術(shù)刊物上發(fā)表論文50多篇。論文“大偶數(shù)理論”于1978年獲得全國(guó)科學(xué)大會(huì)獎(jiǎng)；“均值定理與哥德巴赫猜想”獲山東省科委一等獎(jiǎng)；1982年，他由于在哥德巴赫猜想上的研究成果與王元、陳景潤(rùn)共同獲得國(guó)家自然科學(xué)一等獎(jiǎng)。在國(guó)際數(shù)論界，人們把他與華羅庚、王元、陳景潤(rùn)并稱為中國(guó)數(shù)論學(xué)派的代表人物。

潘承洞在攻克“哥德巴赫猜想”的世界接力賽在中國(guó)賽區(qū)的第三棒中，發(fā)揮了重要的作用，取得了非常好的成績(jī)，也為后面的研究奠定了基礎(chǔ)。

1981年科學(xué)出版社出版了潘承洞與潘承彪合著的《哥德巴赫猜想》, 對(duì)猜想的研究歷史、主要研究方法及研究成果作了系統(tǒng)的介紹與有價(jià)值的總結(jié)，得到了國(guó)內(nèi)外數(shù)學(xué)界的一致好評(píng)。國(guó)際上兩大權(quán)威數(shù)學(xué)評(píng)論都認(rèn)為：“這是一部很有價(jià)值的專著”，“不僅對(duì)中國(guó)從事解析數(shù)論的數(shù)學(xué)家會(huì)有重要影響，若成功地譯成英文，將使西方世界同樣受益”。王元教授稱該書(shū)“絕非材料的簡(jiǎn)單堆積，而是對(duì)過(guò)去研究成果的創(chuàng)造性總結(jié)”。1992年，科學(xué)出版社又出版了該書(shū)的英文版。潘承洞還與潘承彪合著了《素?cái)?shù)定理的初等證明》(1988)，親自撰寫(xiě)了科普讀物《素?cái)?shù)分布與哥德巴赫猜想》(1979)。這些著作對(duì)我國(guó)數(shù)論的研究、教學(xué)和人才培養(yǎng)起到了很好的作用。 

潘承洞講課的一個(gè)特點(diǎn)是風(fēng)趣幽默、引人入勝，常常把一個(gè)原本枯燥的內(nèi)容描繪得趣味盎然；另一個(gè)特點(diǎn)是粗線條的講授，不在細(xì)枝末節(jié)上用太多的語(yǔ)言，而著重講清問(wèn)題的來(lái)龍去脈和其中蘊(yùn)含的思想，對(duì)理論體系的發(fā)展、方法、結(jié)果加以分析，高屋建瓴，獨(dú)辟蹊徑。