1981年出版了潘承洞與潘承彪合著的《哥德巴赫猜想》，對猜想的研究歷史，主要研 究方法及研究成果作了系統(tǒng)的介紹與有價值的總結(jié)，得到了國內(nèi)外數(shù)學(xué)界的一致好評。他們還合箸了《素數(shù)定理的初等證明》（1988），《解析數(shù)論基礎(chǔ)》（1991），《初等代數(shù)數(shù)論》（1991）及《初等數(shù)論》（1992）。潘承洞與于秀源合箸了《階的估計》（1983）。潘承洞還寫了科普讀物《素數(shù)分布與哥德巴赫猜想》（1979）。這些箸作對我國數(shù)論的研究，教學(xué)和人才培養(yǎng)起了很好的作用。

潘承洞在解析數(shù)論研究中所取得的成就主要有以下幾個方面。

 1 　算術(shù)數(shù)列中的最小素數(shù)
　　設(shè)a 與q 是兩個互素的正整數(shù), a < q , q > 2. 以P( q , a) 表示算術(shù)數(shù)列a + kq ( k = 0 ,1 ,2 , …) 中的最小素數(shù)。一個著名的問題是要證明P( q , a) 《 qlog2 q.
　　1944 年, Ю. В. 林尼克( Linnik) 首先證明存在正常數(shù)λ，使得P( q , a) 《 qλ。這只是一個定性結(jié)果，且證明很復(fù)雜與冗長 。K.A.羅托斯基（Rodoskii）才給了一個較簡單的證明，P.吐朗（Turan）在他的書末提及羅托斯基的方法并末給出λ的數(shù)值的任何消息，并指出如果改用他自已的方法。數(shù)學(xué)學(xué)報41 卷© 1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved。一個較簡單的證明, 但P. 吐朗( Turán) 在他的書末曾提及羅托斯基的方法并未給出λ的數(shù)值的任何消息, 并指出如果改用他自己的方法，很可能定出λ來，但始終未見有文章發(fā)表。1957年 ，潘承洞在他的兩篇論文[2 ,3 ]中， 通過對L 函數(shù)性質(zhì)的深入研究，本質(zhì)上改進了林尼克的證明，明確指出λ主要依賴于和L 函數(shù)有關(guān)的三個常數(shù)，具體給出了計算λ的方法。他先后得到了λ<10000與λ<5448。
        林尼克親自為他的文章寫了長篇評論。此后所有改進常數(shù)λ數(shù)值的工作都是在潘承洞所建立的這一框架下得到的。30 多年來主要改進是:λ ≤ 770 , 550 , 168 , 80 , 20 , 11. 5 , 8 , 5. 5。它們分別是由陳景潤，M. 尤梯拉(J utila) , 陳景潤, M. 尤梯拉, S. 格拉漢姆( Graham) , 陳景潤與劉健民 ，王煒，D. R. 黑斯- 布朗(Heath2Brown) 得到的。

2  哥德巴赫猜想, 大篩法, 以及素數(shù)分布的均值定理

為了研究著名的哥德巴赫猜想—每一個大于2 的偶數(shù)一定是兩素數(shù)之和，人們提出先研究這樣一個較簡單的命題: 存在一個正整數(shù)r , 使得每一個充分大的偶數(shù)一定是一個素數(shù)與一個不超過r 個素數(shù)的乘積的和，這一命題簡記為{ 1 , r} 。這樣, 哥德巴赫猜想基本上就是命題{ 1 ,1}。在哥德巴赫猜想提出200 多年后，A. 蘭恩易（Renyi）通過對林尼克的大篩法的重大改進 ，結(jié)合V. 布倫（Brun）篩法，證明了命題{ 1 , r} 。這是一個重大的開創(chuàng)性工作。但是由于證明方法上的缺點，他的結(jié)果是定性的，即不能定出r 的有效值 。蘭恩易證明的關(guān)鍵實質(zhì)上隱含地就是要證明如下的素數(shù)分布均值定理: 存在正數(shù)η , 使得對任意的正數(shù)B 及ε有
Σd F xη-εmax( l , d) =1π( x ; d , l) -1φ( d)π( x) = Ox(log x) B 東省, (1)其中與"O"有關(guān)的常數(shù)依賴于ε與B ，φ( d) 是歐拉函數(shù)，π( x ; 1，1) 表示滿足條件p≤x,p≡l(mod d)的素數(shù)p 的個數(shù), 并且π( x) = π ( x ; 1 , 1) . 蘭恩易把(1) 式左邊的和式轉(zhuǎn)換為估計一個對L函數(shù)零點求和的三重和式。這種和式的估計是很困難的。他通過對大篩法的改進，進一步改進L 函數(shù)零點分布的結(jié)論，從而直接估計出這個三重和式的最內(nèi)層和，然后，再由顯然方法估計這個三重和式、由此，他證明了存在正數(shù)η使得(1) 式成立 ，進而推出存在正整數(shù)r 使命題{ 1 , r} 成立。由于蘭恩易只是有效地估計最內(nèi)層和，所以無法有效地給出η和r 的值。

1962 年，潘承洞對大篩法與L 函數(shù)零點分布的結(jié)論做了進一步改進，使他得以對三重和式內(nèi)的二重和式作整體的有效估計，他證明了當(dāng)η = 1/ 3 時 ，(1) 式成立，進而推出命題{ 1 ,5} 成立。幾乎同時M. B. 巴邦( Варбанн) 獨立地證明過η = 1/ 6 時， (1) 成立 。但并未給出在哥德巴赫問題上的應(yīng)用。潘承洞的結(jié)果是一個出人意料的重大進展。1963 年，他又與巴邦獨立地證明了當(dāng)η = 3/ 8 時，(1) 式成立 ，并進而證明了命題{ 1 ,4} 。1965 年，E.邦別里（Bombieri）和A.I.維諾格拉多夫（Vinogradov）各自獨立地通過對大篩法的最佳改進 ，得以從整體上估計上述三重和式，從而證明了當(dāng)η = 1/ 2 時(1) 成立，這是邦別里獲得菲爾茲獎的主要工作。H. 哈伯斯塔姆（Halberstam）在評論邦別里的這一工作時指出[34 ] : 潘承洞的結(jié)果是“真正杰出的工作”。1983年，E.福利（Fouvry）和H. 伊萬尼斯（Iwaniec）指出[35 ] : 邦別里-維諾格拉多夫定理是在林尼克、蘭恩 易、潘承洞、巴邦等人的“開創(chuàng)性工作的基礎(chǔ)上得到的”。

1973 年，潘承洞提出并證明了一類新的素數(shù)分布均值定理，它是邦別里-維諾格拉多夫定理的重要推廣與發(fā)展，能容易地解決后者所不能直接克服的困難 。利用這一新的均值定理不僅給出了陳景潤定理—命題{ 1 ,2} 的最簡單的證明，成為以后研究哥德巴赫猜想型問題的基礎(chǔ)，而且在不少著名解析數(shù)論問題中有重要應(yīng)用 ，特別是1983 年黑斯—布朗在關(guān)于原根的E. 阿廷（Artin）猜想的論文中應(yīng)用它得到了重要成果 。1988 年，H. E. 理歇特（Richert）在紀(jì)念華羅庚國際數(shù)論與分析會議上發(fā)表的綜述性論文[36 ]中，把邦別里—維諾格拉多夫定理，陳景潤定理 ，以及潘承洞的新均值定理稱為這一領(lǐng)域的三項最重要的成果。

3  小區(qū)間上的素變數(shù)三角和估計與小區(qū)間上的三素數(shù)定理
        1937 年，維諾格拉多夫證明了著名的三素數(shù)定理：每一充分大的奇數(shù)一定是三個素數(shù)的和。這就基本上解決了1742 年哥德巴赫所提出的猜想的一部分：每個大于5 的奇數(shù)都是三個素數(shù)之和。維諾格拉多夫的主要貢獻(xiàn)在于得到了素變數(shù)三角和
Σp F xe2πiαp的非顯然估計, 其中α為實數(shù), p 為素數(shù)變數(shù)。

 C. B. 哈賽格廬烏(Haselgrove) 在1951 年首先考慮了這樣的問題: 每個充分大的奇數(shù)一定是三個幾乎相等的素數(shù)的和。他宣布了一個結(jié)果但沒有證明。精確地說，上述問題可以這樣表達(dá): 存在正數(shù)c < 1 , 使對每個大奇數(shù)N , 素變數(shù)p1 , p2 , p3 的不定方程N = p1 + p2 + p3 ,N3 - Nc+ε F pj F N 3 + Nc+ε, 　=j = 1 ,2 ,3 (2)必有解。其中ε為任意的正數(shù)。這就是小區(qū)間上的三素數(shù)定理。解決這一定理的關(guān)鍵是估計小區(qū)間上的素變數(shù)三角和
Σ x - A < p < x  e2πiαp , (3)

其中2≤A≤X. 維諾格拉多夫曾經(jīng)給出了三角和(3) 的一個非顯然估計，他的方法本質(zhì)上是篩法。但是，他的結(jié)論不足以解決這一問題。

1959 年，潘承洞用分析方法給出了(3) 式的非顯然估計，再結(jié)合維諾格拉多夫的估計，證明了不定方程(2) 當(dāng)c = 160/ 183 時有解，且有解數(shù)的漸近公式。雖然在他的證明中有缺陷，但他的方法為以后研究小區(qū)間素變數(shù)問題的論文經(jīng)常運用。

1988 年起，潘承洞與潘承彪繼續(xù)發(fā)展了他的思想，發(fā)表了三篇論文，不僅完善了1959年的結(jié)果，而且全面完整地提出了用純分析方法來估計小區(qū)間素變數(shù)三角和(3) ，進而相繼證明了當(dāng)c = 91/ 96 , 2/ 3 時(2) 有解, 且有解數(shù)的漸近公式. 這些結(jié)果后來進一步為賈朝華、展?jié)�所改進。潘承洞在這些論文中提出的思想、方法，及改進圓法的應(yīng)用 ，在研究一些解析數(shù)論問題中, 看來還有進一步發(fā)展的潛力。

4  哥德巴赫數(shù)的例外集

凡可以表示為兩個素數(shù)之和的偶數(shù)稱為哥德巴赫數(shù). 命E( x) 表示不超過x 的非哥德巴赫數(shù)的偶數(shù)個數(shù)。1975 年, H. L. 蒙哥馬利(Montgomery) 與R. C. 沃恩(Vaughan) 證明了:存在δ > 0 使E( x) = O ( x1 - δ)，此處與“ O ”有關(guān)的常數(shù)依賴于δ，1979 年陳景潤與潘承洞首次指出δ是可以計算的，并給出估計δ > 0. 01。最近李紅澤進一步證明δ〉0.079 。

5  大篩法及其應(yīng)用、

1963 年, 潘承洞證明了下面的結(jié)果: 命k =log q/log A+ 1 ，此處q 無平方因子. 若k<= F log3A ，則對于滿足A < p F2 A 及( p , q) = 1 的所有素數(shù)p，除了不超過A 1 -ε(ε > 0) 個屬于模D = pq 的例外L 2函數(shù)外，當(dāng)χD ( n) 對p 本原時，L ( s , χD) 在區(qū)域
σ > 1 -2q- εk· log D4 log D + 2 log (| t | + 1) ，| t | F T內(nèi)不為零。

這是蘭恩易結(jié)果的改良, 在他原來的結(jié)果中需有限制| T | ≤log3 D , 而這里T 是無限制的. 由這一估計可得下面的應(yīng)用: 命N ( p , k) 表示模p 的最小k 次正非剩余, 此處A < p F2 A。則除了不超過A 1 -ε個例外素數(shù)p 之外, 恒有N ( p , k) = O ( (log A ) 18+ε) 其中與“O”有關(guān)的常數(shù)依賴于ε。

除解析數(shù)論外，潘承洞的研究領(lǐng)域還涉及其他一些數(shù)學(xué)分支及其應(yīng)用。50 年代末，在廣義解析函數(shù)論及其在薄殼上的應(yīng)用，數(shù)論在近似分析中的應(yīng)用等方面；1970 年前后在樣條插值及其應(yīng)用，濾波分析及其應(yīng)用等方面，均做了一些工作。

潘承洞在山東大學(xué)數(shù)學(xué)系任教的30 多年中，始終在教學(xué)第一線，為大學(xué)生、研究生開設(shè)了10 多門課程，如數(shù)學(xué)分析、高等數(shù)學(xué)、實變函數(shù)論、復(fù)變函數(shù)論、階的估計、計算方法、初等數(shù)論、擬保角變換、素數(shù)分布、堆壘素數(shù)論、哥德巴赫猜想 ，等等。他對教學(xué)一貫認(rèn)真負(fù)責(zé)。他講解生動，方法靈活，條理清楚，邏輯性強，善于深入淺出地啟發(fā)學(xué)生去理解和掌握課程的要點和難點，深受學(xué)生的歡迎. 在專心致志于教學(xué)、科研的同時 ，他還積極地和同事們一起為山東大學(xué)數(shù)學(xué)系和山東大學(xué)的建設(shè)與發(fā)展做出了貢獻(xiàn)。

本文由中科院數(shù)學(xué)所王元先生撰寫，原文發(fā)表于《數(shù)學(xué)學(xué)報》1998年第3期。