1.3 第一次數(shù)學危機的產(chǎn)物—古典邏輯與歐氏幾何學

亞里士多德的方法論對于數(shù)學方法的影響是巨大的，他指出了正確的定義原理。亞里士多德繼承自己老師柏拉圖的觀念，把定義與存在區(qū)分，由某些屬性來定義的東西可能未必存在(如正九面體)。另外，定義必須用已存在的定義過的東西來定義，所以必定有些最原始的定義，如點、直線等。而證明存在的方法需要規(guī)定和限制。

亞里士多德還指出公理的必要性，因為這是演繹推理的出發(fā)點。他區(qū)別了公理和公設，認為公理是一切科學所公有的真理，而公設則只是某一門學科特有的最基本的原理。他把邏輯規(guī)律(矛盾律、排中律等)也列為公理。

亞里士多德對邏輯推理過程進行深入研究，得出三段論法，并把它表達成一個公理系統(tǒng)，這是最早的公理系統(tǒng)。他關于邏輯的研究不僅使邏輯形成一個獨立學科，而且對數(shù)學證明的發(fā)展也有良好的影響。

亞里士多德對于離散與連續(xù)的矛盾有一定闡述。對于潛在的無窮(大)和實在的無窮(大)加以區(qū)別。他認為正整數(shù)是潛在無窮的，因為任何整數(shù)加上1以后總能得到一個新的數(shù)。但是他認為所謂“無窮集合”是不存在的。他認為空間是潛在無窮的，時間在延長上是潛在無窮的，在細分上也是潛在無窮的。

歐幾里得的《幾何原本》對數(shù)學發(fā)展的作用無須在此多談。不過應該指出，歐幾里得的貢獻在于他有史以來第一次總結了以往希臘人的數(shù)學知識，構成一個標準化的演繹體系。這對數(shù)學乃至哲學、自然科學的影響一直延續(xù)到十九世紀。牛頓的《自然哲學的數(shù)學原理》和斯賓諾莎的《倫理學》等都采用了歐幾里得《幾何原本》的體例。

歐幾里得的平面幾何學為《幾何原本》的最初四篇與第六篇。其中有七個原始定義，五個公理和五個公設。他規(guī)定了存在的證明依賴于構造。

《幾何原本》在西方世界成為僅次于《圣經(jīng)》而流傳最廣的書籍。它一直是幾何學的標準著作。但是它還存在許多缺點并不斷受到批評，比如對于點、線、面的定義是不嚴格的：“點是沒有部分的對象”，“線是沒有寬度的長度(線指曲線)”，“面是只有長度和寬度的對象”。顯然，這些定義是不能起邏輯推理的作用。特別是直線、平面的定義更是從直觀來解釋的(“直線是同其中各點看齊的線”)。

另外，他的公理五是“整體大于部分”，沒有涉及無窮量的問題。在他的證明中，原來的公理也不夠用，須加上新的公理。特別是平行公設是否可由其他公理、公設推出更是人所矚目的問題。盡管如此，近代數(shù)學的體系特點在其中已經(jīng)基本上形成了�！�