1.5 第二次數(shù)學(xué)危機(jī)

早在古代，人們就對長度、面積、體積的度量問題感興趣。古希臘的歐多克斯引入量的觀念來考慮連續(xù)變動的東西，并完全依據(jù)幾何來嚴(yán)格處理連續(xù)量。這造成數(shù)與量的長期脫離。

古希臘的數(shù)學(xué)中除了整數(shù)之外，并沒有無理數(shù)的概念，連有理數(shù)的運(yùn)算也沒有，可是卻有量的比例。他們對于連續(xù)與離散的關(guān)系很有興趣，尤其是芝諾提出的四個著名的悖論：

第一個悖論是說運(yùn)動不存在，理由是運(yùn)動物體到達(dá)目的地之前必須到達(dá)半路，而到達(dá)半路之前又必須到達(dá)半路的半路……如此下去，它必須通過無限多個點，這在有限長時間之內(nèi)是無法辦到的。

第二個悖論是跑得很快的阿希里趕不上在他前面的烏龜。因為烏龜在他前面時，他必須首先到達(dá)烏龜?shù)钠瘘c，然后用第一個悖論的邏輯，烏龜者在他的前面。這兩個悖論是反對空間、時間無限可分的觀點的。

而第三、第四悖論是反對空間、時間由不可分的間隔組成。第三個悖論是說“飛矢不動”，因為在某一時問間隔，飛矢總是在某個空間間隔中確定的位置上，因而是靜止的。第四個悖論是游行隊伍悖論，內(nèi)容大體相似。這說明希臘人已經(jīng)看到無窮小與“很小很小”的矛盾。當(dāng)然他們無法解決這些矛盾。

希臘人雖然沒有明確的極限概念，但他們在處理面積體積的問題時，卻有嚴(yán)格的逼近步驟，這就是所謂“窮竭法”。它依靠間接的證明方法，證明了許多重要而難證的定理。

到了十六、十七世紀(jì)，除了求曲線長度和曲線所包圍的面積等類問題外，還產(chǎn)生了許多新問題，如求速度、求切線，以及求極大、極小值等問題。經(jīng)過許多人多年的努力，終于在十七世紀(jì)晚期，形成了無窮小演算——微積分這門學(xué)科，這也就是數(shù)學(xué)分析的開端。

牛頓和萊布尼茲被公認(rèn)為微積分的奠基者。他們的功績主要在于：
1 把各種問題的解法統(tǒng)一成一種方法，微分法和積分法；
2 有明確的計算微分法的步驟；
3 微分法和積分法互為逆運(yùn)算。
　

由于運(yùn)算的完整性和應(yīng)用范圍的廣泛性，使微積分成為解決問題的重要工具。同時關(guān)于微積分基礎(chǔ)的問題也越來越嚴(yán)重。以求速度為例，瞬時速度是Δs/Δt當(dāng)Δt趨向于零時的值。Δt是零、是很小的量，還是什么東西，這個無窮小量究竟是不是零。這引起了極大的爭論，從而引發(fā)了第二次數(shù)學(xué)危機(jī)。

十八世紀(jì)的數(shù)學(xué)家成功地用微積分解決了許多實際問題，因此有些人就對這些基礎(chǔ)問題的討論不感興趣。如達(dá)朗貝爾就說，現(xiàn)在是“把房子蓋得更高些，而不是把基礎(chǔ)打得更加牢固”。更有許多人認(rèn)為所謂的嚴(yán)密化就是煩瑣。

但也因此，微積分的基礎(chǔ)問題一直受到一些人的批判和攻擊，其中最有名的是貝克萊主教在1734年的攻擊。

十八世紀(jì)的數(shù)學(xué)思想的確是不嚴(yán)密的、直觀的、強(qiáng)調(diào)形式的計算，而不管基礎(chǔ)的可靠與否，其中特別是：沒有清楚的無窮小概念，因此導(dǎo)數(shù)、微分、積分等概念不清楚；對無窮大的概念也不清楚；發(fā)散級數(shù)求和的任意性；符號使用的不嚴(yán)格性；不考慮連續(xù)性就進(jìn)行微分，不考慮導(dǎo)數(shù)及積分的存在性以及可否展成冪級數(shù)等等。

一直到十九世紀(jì)二十年代，一些數(shù)學(xué)家才開始比較關(guān)注于微積分的嚴(yán)格基礎(chǔ)。它們從波爾查諾、阿貝爾、柯西、狄里克萊等人的工作開始，最終由威爾斯特拉斯、戴德金和康托爾徹底完成，中間經(jīng)歷了半個多世紀(jì)，基本上解決了矛盾，為數(shù)學(xué)分析奠定了一個嚴(yán)格的基礎(chǔ)。

波爾查諾不承認(rèn)無窮小數(shù)和無窮大數(shù)的存在，而且給出了連續(xù)性的正確定義。柯西在1821年的《代數(shù)分析教程》中從定義變量開始，認(rèn)識到函數(shù)不一定要有解析表達(dá)式。他抓住了極限的概念，指出無窮小量和無窮大量都不是固定的量而是變量，并定義了導(dǎo)數(shù)和積分；阿貝爾指出要嚴(yán)格限制濫用級數(shù)展開及求和；狄里克萊給出了函數(shù)的現(xiàn)代定義。

在這些數(shù)學(xué)工作的基礎(chǔ)上，維爾斯特拉斯消除了其中不確切的地方，給出現(xiàn)在通用的ε - δ的極限、連續(xù)定義，并把導(dǎo)數(shù)、積分等概念都嚴(yán)格地建立在極限的基礎(chǔ)上，從而克服了危機(jī)和矛盾。

十九世紀(jì)七十年代初，威爾斯特拉斯、戴德金、康托爾等人獨(dú)立地建立了實數(shù)理論，而且在實數(shù)理論的基礎(chǔ)上，建立起極限論的基本定理，從而使數(shù)學(xué)分析終于建立在實數(shù)理論的嚴(yán)格基礎(chǔ)之上了。

同時，威爾斯特拉斯給出一個處處不可微的連續(xù)函數(shù)的例子。這個發(fā)現(xiàn)以及后來許多病態(tài)函數(shù)的例子，充分說明了直觀及幾何的思考不可靠，而必須訴諸嚴(yán)格的概念及推理。由此，第二次數(shù)學(xué)危機(jī)使數(shù)學(xué)更深入地探討數(shù)學(xué)分析的基礎(chǔ)——實數(shù)論的問題。這不僅導(dǎo)致集合論的誕生，并且由此把數(shù)學(xué)分析的無矛盾性問題歸結(jié)為實數(shù)論的無矛盾性問題，而這正是二十世紀(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)中的首要問題。