弗雷格在1884年《算術(shù)基礎(chǔ)》中認(rèn)為每個數(shù)是一個獨(dú)立的對象。他認(rèn)為算術(shù)規(guī)則是分析判斷，因此是先驗(yàn)的。根據(jù)這點(diǎn)，算術(shù)只是邏輯進(jìn)一步發(fā)展的形式，每個算術(shù)定理是一個邏輯規(guī)律。把算術(shù)應(yīng)用到自然現(xiàn)象上的解釋只是對所觀察到的事實(shí)的邏輯加工，計(jì)算就是推理。數(shù)字規(guī)律無須實(shí)踐檢驗(yàn)即可應(yīng)用于外在世界，而在外在世界、空間總體及其內(nèi)容物，并沒有概念、沒有數(shù)。因此，數(shù)字規(guī)律實(shí)際上不能應(yīng)用于外在世界，這些規(guī)律并不是自然規(guī)律。不過它們可以應(yīng)用于對外在世界中的事物為真的判斷上，這些判斷即是自然規(guī)律。它們反映的不是自然現(xiàn)象之間的關(guān)系，而是關(guān)于自然現(xiàn)象的判斷之間的關(guān)系。

早在羅素發(fā)現(xiàn)悖論之前，他在寫作《數(shù)學(xué)的原理》時就企圖把數(shù)學(xué)還原為邏輯，由于發(fā)現(xiàn)悖論，這個計(jì)劃遭到了困難。他發(fā)現(xiàn)消除悖論的方法之后，又開始具體實(shí)現(xiàn)他的計(jì)劃，這就是他和懷特海合著的《數(shù)學(xué)原理》。

既然羅素、懷特海的《數(shù)學(xué)原理》原來的目的是企圖把數(shù)學(xué)建立在邏輯的基礎(chǔ)上，因此，書一開始就提出幾個不加定義的概念和一些邏輯的公理，由此推出邏輯規(guī)則以及數(shù)學(xué)定性。

不加定義的概念有基本命題、命題函數(shù)、斷言、或、否(非)；這里講的命題是指陳述一件事實(shí)或描述一種關(guān)系的一個語句，如“張三是人”，“蘋果是紅的”等等，由這些概念可定義邏輯上最重要的概念“蘊(yùn)涵”。

要想由邏輯推出數(shù)學(xué)，第一步是推出“數(shù)”來，這件事皮亞諾及弗雷格都做了。羅素在消除悖論之后，成功地用“類”來定義1。這個過程極為繁瑣費(fèi)力，一直到《數(shù)學(xué)原理》第一卷的363頁才推出“1”的定義，而第二卷費(fèi)了很大力氣證明了n×m＝m×n。

在《數(shù)學(xué)的原理》及《數(shù)學(xué)原理》中，羅素的目標(biāo)在于證明“數(shù)學(xué)和邏輯是全等的”這個邏輯主義論題，它可以分析為三部分內(nèi)容：

1、每條數(shù)學(xué)真理都能夠表示為完全用邏輯表達(dá)或表示的語言。簡單來講，即每條數(shù)學(xué)真理都能夠表示為真正的邏輯命題。

2、每一條真的邏輯命題如果是一條數(shù)學(xué)真理的翻譯，則它就是邏輯真理。

3、每條數(shù)學(xué)真理一旦表示為一個邏輯命題，就可由少數(shù)邏輯公理及邏輯規(guī)則推導(dǎo)出來。

這三方面不完全一樣，羅素只是分別在各處用一條或兩條表示過邏輯主義。由于哥德爾的不完全定理，3是錯的，但是還可以堅(jiān)持1和2。

羅素認(rèn)為邏輯主義的許多主要論點(diǎn)不是來自他本人，弗雷格就曾明確地表示過一些邏輯主義的觀點(diǎn)。但是，邏輯主義觀點(diǎn)盡管受到批判，羅素本人還一直堅(jiān)持。在三十年代以后，還是有許多人發(fā)展邏輯主義。

邏輯主義從—開始就遭到批評，“因?yàn)槿绻麛?shù)學(xué)只是一套邏輯演繹系統(tǒng)，那么它怎么可能反映廣泛的自然現(xiàn)象呢？它又怎樣能夠有創(chuàng)造力呢？它又怎樣能夠產(chǎn)生新觀念呢？”用維特根斯坦的話說，數(shù)學(xué)就是同語反復(fù)(重言式)，結(jié)不出任何新知識。

羅素悖論的出現(xiàn)，使得這一派遭到的攻擊更大。彭加勒挖苦他們“邏輯主義的理論倒不是不毛之地，什么也不長，它滋長矛盾，這就更加讓人受不了”。羅素—懷特海用了幾年時間寫出了《數(shù)學(xué)原理》論證了自己的觀點(diǎn)，仍不免遭到譏諷。彭加勒挖苦他們費(fèi)很大力氣去定義1，說“這是一個可欽可佩的定義，它獻(xiàn)給那些從來不知道1的人”，別人也說這一套完全是中世紀(jì)的教條。更有人指出這種方法的人為性、煩瑣性。尤其是可化歸公理，顯然是硬加上的，沒有任何自然之處。盡管如此，邏輯主義總算還能自圓其說。

對邏輯主義致命打擊的是哥德爾的不完全性定理，它證明了從邏輯并不能推出算術(shù)的正確性來，顯然把數(shù)學(xué)全部化歸為邏輯徹底失敗了。但是，羅素等人的歷史功績是不可磨滅的，他們?yōu)閿?shù)學(xué)奠定了邏輯基礎(chǔ)。在一段時期內(nèi)，《數(shù)學(xué)原理》是一部引導(dǎo)數(shù)學(xué)邏輯家的經(jīng)典，至今它還有一定的意義。

邏輯主義也不是后繼無人，英國的拉姆塞、美國的奎因都對邏輯主義作了進(jìn)一步的發(fā)展。