從希爾伯特的著作看來(lái)，希爾伯特提出了大部分形式主義觀(guān)點(diǎn)，但他并沒(méi)有把它們絕對(duì)化。他的觀(guān)點(diǎn)有些地方同邏輯主義、
直覺(jué)主義有著共同之處。這反映出某種矛盾，應(yīng)該說(shuō)這種矛盾是數(shù)學(xué)家的哲學(xué)思想上的矛盾。
關(guān)于數(shù)學(xué)中的存在，他認(rèn)為不限于感覺(jué)經(jīng)驗(yàn)的存在。在物理世界中，他認(rèn)為沒(méi)有無(wú)窮小、無(wú)窮大和無(wú)窮集合，但是在數(shù)學(xué)理論的各個(gè)分支中卻都有無(wú)窮集合，如自然數(shù)的集合，一個(gè)線(xiàn)段里所有點(diǎn)的集合等等。這種不是經(jīng)驗(yàn)?zāi)軌蛑苯域?yàn)證的對(duì)象，他稱(chēng)之為“理想元素”。引進(jìn)理想元素的方法在數(shù)學(xué)中其實(shí)由來(lái)已久，比如代數(shù)中虛數(shù)的引進(jìn)，幾何中無(wú)窮點(diǎn)的引進(jìn)，微積分中無(wú)窮小與無(wú)窮大的引進(jìn)等等。但是理想元素的引進(jìn)必須不把矛盾帶到原來(lái)的較窄狹的領(lǐng)域內(nèi)。由于理想元素不能靠直觀(guān)經(jīng)驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證，只能靠邏輯來(lái)驗(yàn)證，因此合理性的唯一判據(jù)就是無(wú)矛盾性。這種無(wú)矛盾性的真理觀(guān)實(shí)際上是形式主義基本論點(diǎn)。
但是希爾伯特并不抱這種極端和絕對(duì)的看法，他看到引進(jìn)新元素往往是對(duì)于舊元素的一種擴(kuò)張，所以很自然地要求擴(kuò)張之后增加的新元素仍能保留舊元素的大部分基本性質(zhì)，就象數(shù)的擴(kuò)張仍能使加法交換律保持成立。當(dāng)然這樣也就在一定意義下限制了擴(kuò)張的任意性，這也是因?yàn)閷?duì)于搞研究的數(shù)學(xué)家來(lái)講，引進(jìn)新概念是為了需要，而不是“游戲”，所以希爾伯特還認(rèn)為“需要有相應(yīng)的成果”，而且這是“至高無(wú)上的裁判”。把這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)弄進(jìn)來(lái)，反而使得標(biāo)準(zhǔn)變得模糊不清。
但是在什么情況下，關(guān)于理想元素的命題為真呢？這個(gè)問(wèn)題，希爾伯特不認(rèn)為每個(gè)個(gè)公式都必須得到驗(yàn)證，每一個(gè)概念都必須得到解釋?zhuān)缓笸ㄟ^(guò)直觀(guān)驗(yàn)證。
在1900年的《論數(shù)的概念中》，希爾伯特提議用公理化方法來(lái)代替“生成的”方法。在《幾何學(xué)基礎(chǔ)》中，希爾伯特超過(guò)解析幾何選出的算術(shù)模型來(lái)證明他的幾何公理的無(wú)矛盾性。這樣證明的是相對(duì)無(wú)矛盾性，也就是把幾何學(xué)的無(wú)矛盾性歸于實(shí)數(shù)的算術(shù)公理的無(wú)矛盾性。于是他在1990年國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上把算術(shù)公理的無(wú)矛盾性列為他那著名23個(gè)問(wèn)題中的第二個(gè)。他沒(méi)有指出任何解決這個(gè)問(wèn)題的途徑，而只是強(qiáng)調(diào)相對(duì)無(wú)矛盾性的證明沒(méi)有問(wèn)題。
不久，羅素悖論變得眾所周知，從而無(wú)矛盾性問(wèn)題變得更加緊迫。于是，希爾伯特在1904年在德國(guó)海德堡召開(kāi)的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上提出第一個(gè)證明算術(shù)無(wú)矛盾性的打算。事實(shí)上，這是現(xiàn)代這方面研究的原型。他的草案是：要證明某些初等公式具有無(wú)矛盾性，并且推演規(guī)則傳遞這個(gè)性質(zhì)。
在這篇題為《論邏輯和算術(shù)的偽基礎(chǔ)》的報(bào)告開(kāi)頭，希爾伯特評(píng)論對(duì)于算術(shù)基礎(chǔ)的不同看法。他認(rèn)為，克洛耐克是教條主義者，因?yàn)樗颈镜亟邮苷麛?shù)及其所有重要性質(zhì)，他不再深入下去探求整數(shù)的基礎(chǔ)。德國(guó)科學(xué)家赫姆霍茨是經(jīng)驗(yàn)主義者，按照他的說(shuō)法，任意大的數(shù)不能夠由我們的經(jīng)驗(yàn)得出，因此是不存在的。另外有一些人，特別是德國(guó)數(shù)學(xué)家克里斯多弗張反對(duì)克洛耐克的觀(guān)點(diǎn)。他們認(rèn)為，要是沒(méi)有無(wú)理數(shù)的概念，整個(gè)數(shù)學(xué)分析就勢(shì)必要垮掉。于是他們企圖找尋正面的、肯定的性質(zhì)來(lái)確認(rèn)無(wú)理數(shù)的存在。但是，他認(rèn)為這種觀(guān)點(diǎn)是不徹底的，因此說(shuō)他們是機(jī)會(huì)主義的。這幾種觀(guān)點(diǎn)，希爾伯特都表示反對(duì)。
希爾伯特認(rèn)為比較深入的觀(guān)點(diǎn)是下面幾種：
一是弗雷格的邏輯主義，他把數(shù)學(xué)規(guī)則建立在邏輯的基礎(chǔ)上；
二是戴德金的先驗(yàn)主義，他是根據(jù)哲學(xué)上的論證來(lái)推斷無(wú)窮的存在，不過(guò)他對(duì)數(shù)的論述中包含著“所有對(duì)象的集合”這類(lèi)矛盾了；
三是康托爾的主觀(guān)主義觀(guān)點(diǎn)，他清楚地區(qū)分“相容集”及“不相容集”。但是他沒(méi)有提供明顯的判據(jù)，因此缺乏客觀(guān)的可靠性。
希爾伯特認(rèn)為所有困難都可以通過(guò)給數(shù)的概念建立完全而嚴(yán)格的基礎(chǔ)而得到克服，這就是公理化方法。1904年以后，希爾伯特把主要精力放在研究積分方程等分析問(wèn)題以及物理學(xué)公理此等方面，沒(méi)有發(fā)表什么數(shù)學(xué)基礎(chǔ)方面的著作。這時(shí)，各種流派進(jìn)行的激烈斗爭(zhēng)，也不能不使希爾伯特關(guān)心。尤其是布勞威爾直覺(jué)主義的出現(xiàn)，他感到對(duì)于整個(gè)數(shù)學(xué)的生存和發(fā)展是個(gè)極大的威脅，于是他開(kāi)始投入戰(zhàn)斗。
從1917年起的二十多年時(shí)間里，他為了挽救古典數(shù)學(xué)竭盡全力。1917年他在蘇黎世發(fā)表一篇演說(shuō)，題目是“公理思想”。這篇文章全面敘述了一些與認(rèn)識(shí)論有關(guān)的問(wèn)題，如數(shù)論和集合論的無(wú)矛盾性，每個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的原則上可解性，找出數(shù)學(xué)說(shuō)明的單純性，的標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)中內(nèi)容與形式表示的關(guān)系，數(shù)學(xué)問(wèn)題通過(guò)有限步驟的可判定性問(wèn)題。這些問(wèn)題預(yù)示著后來(lái)數(shù)理邏輯的發(fā)展。他認(rèn)為，要想深入研究就必須對(duì)數(shù)學(xué)證明的概念進(jìn)行深入的研究。既然邏輯推理可以符號(hào)化，進(jìn)行數(shù)學(xué)的研究，為什么證明不行呢？他提出了證明論的一般思想和目標(biāo)，但是沒(méi)有具體化。
希爾伯特他第一篇證明論的工作是1922年發(fā)表的，在《數(shù)學(xué)的新基礎(chǔ)：第一篇》中，他論述如何把數(shù)論用有限方法討論，而數(shù)學(xué)本身卻一般須用超窮方法。他指出用符號(hào)邏輯方法可以把命題和證明加以形式化，而把這些形式化的公式及證明直接當(dāng)做研究對(duì)象。在1922年在德國(guó)自然科學(xué)家協(xié)會(huì)萊比錫會(huì)議上，他做了《數(shù)學(xué)的邏輯基礎(chǔ)》的演講，更進(jìn)一步提出了證明方法。要求有限主義，即經(jīng)過(guò)有限步不推出矛盾來(lái)即為證明可靠，這稱(chēng)為希爾伯特計(jì)劃。
其實(shí)早先弗雷格已經(jīng)堅(jiān)持認(rèn)為需要有明顯的符號(hào)系統(tǒng)，明顯的公理及推演規(guī)則，明顯的證明。希爾伯特定走的更遠(yuǎn)，他提出這樣一種明顯理論本身也做為一種數(shù)學(xué)研究的對(duì)象，且應(yīng)用適當(dāng)?shù)姆椒▉?lái)判定它是否無(wú)矛盾，這種做法一般稱(chēng)為元數(shù)學(xué)。
希爾伯特建議兩條最基本的原則：
一、形式主義原則：所有符號(hào)完全看做沒(méi)有意義的內(nèi)容，即使將符號(hào)、公式或證明的任何有意的意義或可能的解釋也不管，而只是把它們看作純粹的形式對(duì)象，研究它們的結(jié)構(gòu)性質(zhì)；
二、有限主義原則，即總能在有限機(jī)械步驟之內(nèi)驗(yàn)證形式理論之內(nèi)一串公式是否一個(gè)證明。應(yīng)用數(shù)學(xué)方法于這樣一個(gè)形式理論，避免涉及無(wú)窮的推斷，這就排除了康托爾集合論的方法。這個(gè)思想是只應(yīng)用靠得住的方法，因?yàn)橐C明數(shù)學(xué)或其一部分無(wú)矛盾的方法是大家公認(rèn)可靠的，整個(gè)數(shù)學(xué)才有牢固的基礎(chǔ)。
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